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Espacios Vectoriales

Definición 2.1.1   Un Grupo G es un conjunto con un operador ``$ \cdot$'' que cumple con:
  1. Asociatividad: $ \forall (a,b,c) \in G \quad a \cdot (b \cdot c)
= (a \cdot b) \cdot c$
  2. Elemento Neutro: $ \exists e \in G$ tal que $ \forall a \in G \quad
a \cdot e = e \cdot a = a$
  3. Inverso: $ \forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ tal que $ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$

Definición 2.1.2   Un Grupo Abeliano G es un grupo que ademáas cumple con tener conmutatividad.

$\displaystyle \forall (a,b) \in G \quad a \cdot b = b \cdot a
$

Definición 2.1.3   Un Campo F es un conjunto dotado de dos operadores: suma y multiplicación, tal que:
  1. La suma de $ F$ es un grupo abeliano con elemento neutro 0 e inversos $ -a \; \forall a \in F$
  2. La multiplicación de $ F$ es un grupo abeliano en $ F - \{0\}$ con elemento neutro $ 1$ e inversos $ a^{-1} \; \forall a \in F - \{0\}$
  3. Es distributivo: $ \forall (a,b,c) \in F \quad a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$

Definición 2.1.4   Un Espacio Vectorial $ \mathcal{A}$ tiene tres objetos:
  1. Un grupo abeliano $ (V,+)$ con elementos llamados vectores y cuya ope- ración binaria ``+'' se le llama suma.
  2. Un campo $ F$ de números (usualmente los números reales o los complejos) cuyos elementos se les llama escalares.
  3. Una operación de multiplicación con escalares denotada por ``$ \cdot$'':

    $\displaystyle \cdot : F \times V \rightarrow V
$

    que cumple con las siguentes propiedades:
    $\displaystyle c \cdot ( \alpha + \beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c \cdot \alpha + c \cdot \beta$ (2.1)
    $\displaystyle (c + c') \cdot \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c \cdot \alpha + c' \cdot \alpha$ (2.2)
    $\displaystyle (c \cdot c') \cdot \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c \cdot ( c' \cdot \alpha)$ (2.3)
    $\displaystyle 1 \cdot \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha$ (2.4)

    para todo $ c, c' \in F$ y $ \alpha, \beta \in V$

Observación 2.1.1   El operador de ``$ \cdot$'' para el campo $ F$ no es el mismo que para la operación con el espacio vectorial en el punto 3 de la definición anterior.

Observación 2.1.2   El operador de ``+'' para el campo $ F$ no es el mismo que para la operación del espacio vectorial en el punto 1 de la definición anterior.

Observación 2.1.3   Es común eliminar el uso del ``$ \cdot$'' para denotar la multiplicación de un escalar por un vector y escribir $ c\alpha$ en vez de $ c\cdot\alpha$.

Definición 2.1.5   Un conjunto de vectores $ v_i \in V$ con $ i \in \{0, 1, \ldots n-1\}$ se le dice linealmente independiente si cumple con que $ \forall (c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}) \in F$

$\displaystyle \left( \sum_{i=0}^{n-1} c_iv_i \right) = 0 \Longrightarrow c_i = 0 \quad \forall i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}
$

Definición 2.1.6   Un conjunto de vectores $ v_i \in V$ con $ i \in \{0, 1, \ldots n-1\}$ se le dice linealmente dependientes si no son linealmente independientes

Definición 2.1.7   Un subespacio $ \mathcal{S}$ de un espacio vectorial $ \mathcal{A}$ es un subconjunto de $ \mathcal{A}$ que cumple con que para todo $ \alpha, \beta \in \mathcal{S}$ y $ c \in F$

Teorema 2.1.1   Dado un un conjunto de $ k$ vectores $ v_0, v_1, \ldots, v_{k-1}$. el conjunto de vectores formado por todas las posibles combinaciones lineales de los $ v_i$ conforma un subespacio vectorial.

Teorema 2.1.2   Dado un espacio vectorial $ \mathcal{A}$, un subespacio $ \mathcal{S}$ de $ \mathcal{A}$, y un conjunto de $ k$ vectores $ v_0, v_1, \ldots, v_{k-1}$. Si $ \mathcal{S}$ contiene a todos los vectores $ v_i$, entonces también contiene a toda combinación lineal de los vectores $ v_i$

Proof. Ejercicio $ \qedsymbol$

Corolario 2.1.3 (2.1.2)   Dado un conjunto de $ k$ vectores $ v_0, v_1, \ldots, v_{k-1}$. el espacio vectorial formado por la combinación lineal de estos vectores es el subespacio vectorial más pequeño que los contiene.

Definición 2.1.8   Se llama Base de un espacio vectorial $ \mathcal{A}$ a un conjunto de vectores $ v_i$ tales que:

Definición 2.1.9   Un espacio vetorial $ \mathcal{A}$ es de dimensión finita, si existe una base de $ \mathcal{A}$ que tiene una cantidad finita de elementos.


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Jose Castro 2004-10-06