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Espacios Vectoriales Reales $ n$-dimensionales

Un espacio euclídeo es un espacio vectorial con dimensión finita en los números reales. En particular tenemos la siguiente definición.

Definición 2.2.1   Un espacio vectorial con vectores $ v \in R^n$ se llama espacio euclídeo si para cada par de vectores $ \alpha, \beta, \gamma \in R^n$ y $ c \in R$ existe una operación llamada producto interno denotada por $ (\alpha,\beta)$ que cumple con las siguentes propiedades
  1. $ (\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$
  2. $ (c\alpha, \beta) = c(\alpha, \beta)$
  3. $ (\alpha + \gamma, \beta) = (\alpha,\beta) + (\gamma,\beta)$
  4. $ (\alpha,\alpha) \geq 0$
  5. $ (\alpha,\alpha) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0$

Definición 2.2.2   El largo de un vector $ \alpha$ en espacio euclídeo se denota por $ \vert\alpha\vert$ y se define como

$\displaystyle \vert\alpha\vert = \sqrt{(\alpha,\alpha)}
$

Teorema 2.2.1   Dados dos vectores $ \alpha$ y $ \beta$ en un espacio euclídeo. El ángulo $ \phi$ entre los vectores es igual a

$\displaystyle \phi = \arccos \left[ \frac{(\alpha,\beta)}{\vert\alpha\vert\vert...
...rightarrow
\cos(\phi) = \frac{(\alpha,\beta)}{\vert\alpha\vert\vert\beta\vert}
$

Proof. (Ejercicio). $ \qedsymbol$

Definición 2.2.3   Dos vectores $ \alpha$ y $ \beta$ se dicen ortogonales si $ (\alpha,\beta) = 0$

Definición 2.2.4   $ n$ vectores $ v_0, v_1, \ldots, v_{n-1}$ forman una base ortogonal de un espacio euclídeo $ n$-dimensional si son ortogonales dos a dos.

Definición 2.2.5   $ n$ vectores $ v_0, v_1, \ldots, v_{n-1}$ forman una base ortonormal de un espacio euclídeo $ n$-dimensional si son una base ortogonal y $ \forall v_i, \; \vert v_i\vert = 1$.

Observación 2.2.1   Es posible demostrar que todo espacio euclídeo de $ n$-dimensiones posee bases ortogonales, dada una base ortogonal $ v_0, v_1, \ldots v_{n-1}$, es posible expresar todo vector $ \alpha$ como:

$\displaystyle \alpha = a_0v_0 + a_1v_1 + \cdots + a_{n-1}v_{n-1}
$

Teorema 2.2.2   Si $ v_0, v_1, \ldots v_{n-1}$ es una base de un espacio euclídeo $ n$-dimensional. y

$\displaystyle \alpha = a_0v_0 + a_1v_1 + \cdots + a_{n-1}v_{n-1}
$

Entonces se le llama proyección del vector $ \alpha$ al vector $ v_k$ de la base a

$\displaystyle (\alpha, v_k) = a_k
$

Proof. (Ejercicio) $ \qedsymbol$

Teorema 2.2.3   Si $ v_0, v_1, \ldots v_{n-1}$ es una base de un espacio euclídeo $ n$-dimensional. y
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_0v_0 + a_1v_1 + \cdots + a_{n-1}v_{n-1}$  
$\displaystyle \beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_0v_0 + b_1v_1 + \cdots + b_{n-1}v_{n-1}$  

Entonces

$\displaystyle (\alpha, \beta) = \sum_{i=0}^{n-1} a_ib_i
$

Proof. (Ejercicio) $ \qedsymbol$

Definición 2.2.6   Una Transformación lineal en un espacio euclídeo es una función $ A$ que cumple con
  1. $ A(\alpha+\beta) = A(\alpha) + A(\beta)$
  2. $ A(c\alpha) = cA(\alpha)$

Definición 2.2.7   Una función $ B(;)$ de dos parámetros en un espacio vectorial se dice bilineal si
  1. Para un $ \beta$ fijo, $ B(\alpha, \beta)$ es una función lineal de $ \alpha$.
  2. Para un $ \alpha$ fijo, $ B(\alpha, \beta)$ es una función lineal de $ \beta$.

Observación 2.2.2   Una funcion bilineal $ B$ es simétrica si $ B(\alpha,\beta) = B(\beta,\alpha)$. Un ejemplo de una función bilineal es el producto interno.


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Jose Castro 2004-10-06