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Operadores Lineales y Matrices

Definición 2.3.1   Una matriz $ M = [a_{ij}]$ es un arreglo rectangular de elementos del campo $ F$ con $ n$ filas y $ m$ columnas

$\displaystyle M = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}...
...ots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{array}\right)
$

Observación 2.3.1   Una matriz $ M$ de $ n$ filas y $ m$ columnas se puede interpretar como una transformación lineal de un espacio vectorial de $ m$ dimensiones a uno de $ n$ dimensiones. Si $ n=m$ entonces $ M$ es una transformación lineal dentro del mismo espacio vectorial.

Definición 2.3.2   Una matriz cuadrada $ M$ es una matriz donde $ n=m$.

Definición 2.3.3   La transpuesta de una matriz de $ n$ filas y $ m$ columnas $ M = [a_{ij}]$ es una matriz $ M^T$ de $ m$ filas y $ n$ columnas

$\displaystyle M^T = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n...
...ots & \ddots & \vdots \\
a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm}
\end{array}\right)
$

Observación 2.3.2   Toda transformación lineal en un espacio vectorial se puede representar mediante una matriz. De aquí en adelante se hablará indistintamente de transformación lineal, matriz u operador.

Definición 2.3.4   El espacio de filas de una matriz $ M$ es el espacio generado por los $ n$ vectores fila de la matriz.

Definición 2.3.5   El espacio de columnas de una matriz $ M$ es el espacio vectorial generado por los $ m$ vectores columna de la matriz.

Definición 2.3.6   Una matriz $ M = [a_{ik}]$ de $ n$ filas y $ m$ columnas, y otra matriz $ N = [b_{kj}]$ de $ m$ filas y $ s$ columnas, se pueden multiplicar y dan como resultado una matriz $ P = [p_{ij}]$ de $ n$ filas y $ s$ columnas tal que

$\displaystyle p_{ij} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}
$

Definición 2.3.7   Las operaciones elementates sobre las filas de una matriz son
  1. intercambiar dos filas de la matriz.
  2. multiplicar el vector fila por un escalar $ c$.
  3. sumar el múltiplo de una fila $ i$ a una otra fila $ j$.

Definición 2.3.8   Dos matrices son equivalentes por filas si se puede obtener una mediante operaciones elementales sobre la otra

Definición 2.3.9   Cuando $ n=m$ se le llama la matriz identidad a la matriz $ I = [a_{ij}]$ donde $ a_{ij} = \delta_{ij}$ y $ \delta_{ij}$ es la función Kronecker delta. Por ejemplo

$\displaystyle I^6 = \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 &...
...& 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
$

Definición 2.3.10   Una matriz de permutación es una matriz identidad con las filas intercambiadas.

Definición 2.3.11   Una matriz $ M$ es no singular si sus filas o columnas son linealmente independientes.

Definición 2.3.12   El determinante de una matriz cuadrada $ M = [a_{ij}]$ se define como

$\displaystyle det(M) = \vert M\vert = \sum_{\Phi} \mathrm{signo}(\Phi)a_{1,\phi_1}a_{2,\phi_2}\cdots a_{n,\phi_n}
$

donde $ \Phi$ varía sobre todas las posibles permutaciones de los números del 1 al $ n$ y

$\displaystyle \Phi = (\phi_1, \phi_2, \phi_3, \ldots, \phi_n)
$

además signo($ \phi$) corresponde a la posición lexicográfica de la permutación, tal que las permutaciones pares tienen signo 1 y las impares tienen signo -1.

Observación 2.3.3   El determinante de una matriz $ M = [a_{ij}]$ también se puede expresar como

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}a_{ij}M_{ij}
$

Para $ i$ arbitrario y donde

$\displaystyle M_{ij} = \frac{\partial \vert M\vert}{\partial a_{ij}}
$

Teorema 2.3.1   Si $ N$ es el resultado de intercambiar dos filas de una matriz cuadrada $ M = [a_{ij}]$, entonces

$\displaystyle \vert N\vert = -\vert M\vert
$

Teorema 2.3.2   Si una matriz $ M$ tiene filas linealmente dependientes entre sí, entonces $ \vert M\vert = 0$.

Definición 2.3.13   Una matriz cuadrada es triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal son iguales a 0.

Definición 2.3.14   Una matriz cuadrada es triangular inferior si todas las entradas por debajo de la diagonal son iguales a 0.

Definición 2.3.15   Una matriz cuadrada es triangular si es triangular superior o triangular inferior.

Teorema 2.3.3   El determinante de una matriz triangular es la multiplicación de los elementos en su diagonal

$\displaystyle \vert M\vert = \prod_{i=1}^{n}a_{ii}
$

Teorema 2.3.4   Una matriz $ M$ no singular tiene inversa $ M^{-1}$ tal que

$\displaystyle MM^{-1} = M^{-1}M = I
$

Definición 2.3.16   El polinomio característico de una matriz $ M$ es

$\displaystyle c(\lambda) = \vert M - \lambda I\vert
$

Definición 2.3.17   El trazo de una matriz $ M = [a_{ij}]$ es la suma de los elementos en su diagonal

$\displaystyle Tr(M) = \sum_{i=1}^n a_{ii}
$

Teorema 2.3.5   El trazo de una matriz cumple con que para toda matriz $ M$ y $ N$
  1. $ Tr(MN) = Tr(MN)$
  2. $ Tr(M+N) = Tr(M) + Tr(N)$
  3. $ Tr(cM) = cTr(M)$


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Jose Castro 2004-10-06