next up previous
Next: Espacios de Hilbert y Up: El Modelo Matemático Previous: Operadores Lineales y Matrices

Operadores Hermitios en espacio euclídeo complejo

Todas las definiciones y teoremas expuestos en las secciones anteriores son válidos en el campo de los números complejos. Definimos un número complejo como:

Definición 2.4.1   Un número complejo $ \alpha \in C$ es un número de la forma

$\displaystyle \alpha = a + bi
$

donde $ a$ y $ b$ son números reales y

$\displaystyle i = \sqrt{-1}
$

Definición 2.4.2   Si $ \alpha = a+bi$ es un número complejo, entonces se llama el conjugado de $ \alpha$ al número complejo denotado por $ \alpha^*$ igual a

$\displaystyle \alpha^* = a - bi
$

Observación 2.4.1   Nótese que $ \alpha\alpha^* = \alpha^*\alpha = a^2+b^2 \geq 0$

La observación anterior nos permite definir un producto interno en los espacios vectoriales de números complejos con las siguientes características

Definición 2.4.3   Dados $ \alpha \in C^n$ y $ \beta \in C^n$ donde $ \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ y $ \beta = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n)$. Se define el producto interno entre $ \alpha$ y $ \beta$ como $ (\alpha,\beta)$

$\displaystyle (\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^n \alpha_i^*\beta_i
$

Teorema 2.4.1   El producto interno en un espacio vectorial de números complejos cumple con que
  1. $ (\alpha,\beta) = (\beta,\alpha)^*$
  2. $ (\alpha,\alpha) \geq 0$
  3. $ (\alpha, \alpha) = 0 \Longrightarrow \alpha = 0$

Observación 2.4.2   El producto interno nos permite definir una norma en el espacio vectorial $ n$-dimensional de números complejos. El producto interno implica una norma, pero la norma no necesariamente implica un producto interno. Un espacio vectorial con solo norma se le llama un espacio de Banach. A los otros les llamaremos espacio de Hilbert.

Definición 2.4.4   Sea $ A = [a_{ij}]$ una matriz de números complejos $ a_{ij}$. Se define la matriz $ A^* = [a_{ij}^*]$ como la matriz de los conjugados de los elementos de $ A$

Definición 2.4.5   Sea $ A = [a_{ij}]$ una matriz cuadrada de números complejos $ a_{ij}$. Se define la matriz adjunta de $ A$ a la matriz $ A^{\dagger}$ definida como $ A^{\dagger} = \left(A^*\right)^T$ igual a

$\displaystyle A^{\dagger} = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11}^* & a_{21}^* & \...
...\ddots & \vdots \\
a_{1n}^* & a_{2n}^* & \cdots & a_{nn}^*
\end{array}\right)
$

Teorema 2.4.2   Para todas dos matrices $ A$ y $ S$

$\displaystyle Tr(S^{\dagger}AS) = Tr(SAS^{\dagger}) = Tr(A)
$

Definición 2.4.6   Un operador $ A$ es normal si $ A^{\dagger}A = AA^{\dagger}$

Definición 2.4.7   Un operador $ A$ es Hermitio si $ A^{\dagger} = A$

Observación 2.4.3   Los operadores Hermitios tienen la propiedad de ser doblemente lineales con el producto interno en $ C^n$. Es claro que si $ A$ es Hermitio entonces también es normal.

Definición 2.4.8   Una matriz $ U$ es unitaria si cumple que

$\displaystyle UU^{\dagger} = U^{\dagger}U = I
$

Teorema 2.4.3   Dado un operador unitatio $ U$ y vectores $ \alpha$, $ \beta$

$\displaystyle (U\alpha,U\beta) = (\alpha, \beta)
$

o bien con notación mas concisa

$\displaystyle U\alpha \cdot U\beta = \alpha \cdot \beta
$

Definición 2.4.9   Dados dos operadores $ A$ y $ B$ se define el conmutador de $ A$ y $ B$ a

$\displaystyle [A,B] = AB - BA
$

Observación 2.4.4   $ A$ y $ B$ conmutan si $ [A,B] = 0$.

Observación 2.4.5   También se define el anticonmutador de $ A$ y $ B$ como

$\displaystyle \{A,B\} = AB + BA
$

Se dice que $ A$ y $ B$ anticonmutan si $ \{A,B\} = 0$.


next up previous
Next: Espacios de Hilbert y Up: El Modelo Matemático Previous: Operadores Lineales y Matrices
Jose Castro 2004-10-06