next up previous
Next: Relevancia física de los Up: El Modelo Matemático Previous: Operadores Hermitios en espacio

Espacios de Hilbert y notación de Dirac

Históricamente, un espacio de Hilbert es un espacio de dimensión infinita con escalares complejos. Por ejemplo el conjunto de funciones de variable real y valor complejo en el intervalo [0,1]

$\displaystyle \left\{ f \mid f:[0,1] \rightarrow C \right\}
$

es un espacio de Hilbert. Sin embargo, en física los modelos que utilizamos son de dimensión finita, y como son derivados de estos espacios también se les llama espacios de Hilbert, en este caso espacios de Hilbert $ n$-dimensionales. También, como pueden ser representados por una base finita, se les llama espacios de Hilbert separables. La literatura de mecánica cuántica ha seguido la convención de llamar un espacio euclídeo $ n$-dimensional de variable compleja por el nombre de espacio de Hilbert $ n$-dimensional $ \mathcal{H}^n$. Nosotros seguiremos aquí esta convención.

Definición 2.5.1   Utilizando notación de Dirac. Un vector en un espacio de Hilbert $ \mathcal{H}^n$ se denota por un ket $ \vert\psi\rangle $. Por convención, vamos a interpretar este valor como un vector columna2.1

$\displaystyle \vert\psi\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right)
$

Definición 2.5.2   La contraparte de un ket es un bra que conjuntamente conforman un braket. Si tenemos un ket $ \vert\psi\rangle $ igual a

$\displaystyle \vert\psi\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right)
$

entonces el bra correspondiente se denota por $ \langle \psi\vert$ y es igual al vector fila2.2

$\displaystyle \langle \psi\vert = (\alpha_1^*, \alpha_2^*, \ldots, \alpha_n^*)
$

Definición 2.5.3   La multiplicación de un bra con un ket produce un escalar (número complejo). Si tenemos dos estados cuánticos $ \vert\psi\rangle $ y $ \vert\varphi\rangle$ tal que

$\displaystyle \vert\psi\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\vdots \\
\alpha_n
\end{array}\right)
$

y

$\displaystyle \vert\varphi\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_n
\end{array}\right)
$

Entonces el braket formado por ambos se denota por $ \langle\psi\vert\varphi\rangle$ y es igual a

$\displaystyle \langle\psi\vert\varphi\rangle = \sum_{i=1}^n \alpha_i^*\beta_i
$

Observación 2.5.1   El braket tal como esta definido anteriormente es equivalente al producto interno en números complejos. Se utiliza la notación $ \langle\psi\vert\varphi\rangle$ en vez de $ \langle\psi\vert\vert\varphi\rangle$ por ser más concisa.

Observación 2.5.2   Así como el producto interno produce un escalar, también podemos definir el producto externo. Este producto genera una matriz, en mecánica cuántica a veces se utiliza indistintamente el ket de un estado con su matriz asociada.

Definición 2.5.4   El producto externo de dos estados cuánticos $ \vert\psi\rangle $ con componentes $ \alpha_i$, y el estado $ \vert\varphi\rangle$ con componentes $ \beta_i$ es igual a la matriz $ \vert\psi\rangle\langle\varphi\vert$ igual a:

$\displaystyle \vert\psi\rangle\langle\varphi\vert =
\left(
\begin{array}{c}
\a...
...n\beta_1^* & \alpha_n\beta_2^* & \cdots & \alpha_n\beta_n^*
\end{array}\right)
$

Definición 2.5.5   Un espacio de Hilbert $ n$-dimensional $ \mathcal{H}^n$ tiene una base canónica determinada por los kets $ \vert\rangle$, $ \vert 1\rangle$, hasta el ket $ \vert n-1\rangle$ tal que

$\displaystyle \vert\rangle =
\left(
\begin{array}{c}
1  0  \vdots  0  \...
...eft(
\begin{array}{c}
0  0  \vdots  0  \vdots  1
\end{array}\right)
$

Observación 2.5.3   Los bra también pueden expresarse de esta manera, tenemos entonces el conjunto de la base canónica denotado por $ \langle 0\vert$, $ \langle 1\vert$, $ \ldots$, $ \langle i\vert$, $ \ldots$, $ \langle n-1\vert$.

Observación 2.5.4   Todo ket $ \vert\psi\rangle \in \mathcal{H}^n$ puede espresarse como una combinación lineal de la base canónica

$\displaystyle \vert\psi\rangle = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i\vert i\rangle
$

Observación 2.5.5   Los vectores $ \vert\varphi\rangle$ y $ \langle\varphi\vert$ se les llama duales y cumplen con la propiedad que
$\displaystyle (\vert\varphi\rangle)^{\dagger}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \langle\varphi\vert$  
$\displaystyle (\langle\varphi\vert)^{\dagger}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vert\varphi\rangle$  

Teorema 2.5.1   El producto interno de vectores ket que representan estados cuánticos satisfaces la desigualdad de Schwartz

$\displaystyle \langle\varphi\vert\varphi\rangle\langle\psi\vert\psi\rangle \geq \vert\langle\varphi\vert\psi\rangle\vert^2
$

Definición 2.5.6   Dada una matriz u operador $ A$, se llaman valor propio $ \lambda$ y vector propio $ \vert\phi\rangle$ de la matriz a los valores que cumplen con que

$\displaystyle A\vert\phi\rangle = \lambda\vert\phi\rangle
$

Teorema 2.5.2   Los valores propios de una matriz u operador $ A$ son las soluciones a la equación del polinomio característico de la matriz

$\displaystyle \vert A - \lambda I\vert = 0
$

Observación 2.5.6   De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio sobre los números complejos tiene por lo menos una raíz compleja. En nuestro caso realmente tiene $ n$ donde $ n$ es la dimensión del espacio.

Observación 2.5.7   Cualquier operador $ A$ puede descomponerse de la siguiente como

$\displaystyle A = \sum_i \lambda_i\vert a_i\rangle\langle c_i\vert
$

con $ a_i$ y $ c_i$ arbitrarios y $ \lambda_i$ valores propios de la matriz.

Cuando un operador $ A$ se puede descomponer en

$\displaystyle A = \sum_{i}\lambda_i\vert\varphi_i\rangle\langle\varphi_i\vert
$

donde $ \vert\varphi_i\rangle$ es un valor propio asociado con $ \lambda_i$ entonces la descomposición del operador es única

Teorema 2.5.3   Los valores propios de un operador Hermitio son reales

Definición 2.5.7   El producto tensor de dos matrices $ A$ y $ B$, donde $ A$ es una matriz de $ n$ filas y $ m$ columnas

$\displaystyle A =
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}...
...ots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{array}\right)
$

y $ B$ es una matriz de $ p$ filas y $ q$ columnas

$\displaystyle B =
\left(
\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} ...
...ts & \ddots & \vdots \\
b_{p1} & b_{p2} & \cdots & b_{pq}
\end{array}\right)
$

es la matriz $ C = A \otimes B$ de $ np$ filas y $ mq$ columnas definida por

$\displaystyle C = A \otimes B =
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11}B & a_{12}B & ...
... & \ddots & \vdots \\
a_{n1}B & a_{n2}B & \cdots & a_{nm}B
\end{array}\right)
$

donde $ C = (c_{ij})$ y $ c_{ij} = a_{i \div p,j \div q}b_{i\vert p,j\vert q}$ tal que $ \div$ representa división entera y $ \vert$ representa el resto de la división entera.


next up previous
Next: Relevancia física de los Up: El Modelo Matemático Previous: Operadores Hermitios en espacio
Jose Castro 2004-10-06