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Descomposición espectral de un operador ortonormal

Sea $ N$ un operador con vectores propios ortonormales en un espacio vectorial complejo de dimension finita. Si los vectores propios de $ N$ denotados por $ \vert n_i\rangle$ forman una base del espacio vectorial y tienen la propiedad de que

$\displaystyle N\vert n_i\rangle = \lambda_i\vert n_i\rangle
$

entonces todo vector en el espacio $ \vert\Psi\rangle \in \mathcal{H}^n$ se puede representar como

$\displaystyle \vert\Psi\rangle = \sum_i \alpha_i\vert n_i\rangle
$

Ahora bien, si aplicamos el operador $ N$ a este vector tenemos que

$\displaystyle N\vert\Psi\rangle = N\sum_i \alpha_i\vert n_i\rangle =\sum_i \alpha_i N \vert n_i\rangle =
\sum_i \alpha_i\lambda_i\vert n_i\rangle
$

Definase el proyector $ P_i$ a la matriz formada por el producto externo del vector propio $ \vert n_i\rangle$ consigo mismo

$\displaystyle P_i = \vert n_i\rangle\langle n_i\vert
$

Si multiplicamos $ P_i$ con el estado $ \vert\Psi\rangle$ tenemos

$\displaystyle P_i\vert\Psi\rangle = P_i\sum_j \alpha_j\vert n_j\rangle = \sum_j...
...\alpha_j\vert n_i\rangle\langle n_i\vert n_j\rangle = \alpha_i\vert n_i\rangle
$

y por lo tanto tenemos que

$\displaystyle N\vert\Psi\rangle = \sum_i \alpha_i\lambda_i\vert n_i\rangle = \s...
...mbda_i P_i\vert\Psi\rangle = \left(\sum_i \lambda_i P_i\right)\vert\Psi\rangle
$

lo cual implica que

$\displaystyle N = \sum_i \lambda_i P_i
$

A esta expresión se le llama la descomposición espectral del operador.



Jose Castro 2004-10-06