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Rotaciones en espacios vectoriales complejos

Recordando que un número complejo se expresa como $ a + ib$ y que este valor tiene una representación natural en plano cartesiano. Extenderemos la definición de $ e^x$ para incluir números complejos. En particular recordemos que

$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2}
+ \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} \cdots
$

$\displaystyle \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
$

$\displaystyle \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =
x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
$

Ahora bien, por estas equivalencias $ e^{ix}$ es igual a

$\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2}
+ \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} \cdots =
$

$\displaystyle 1 + ix + \frac{i^2x^2}{2}
+ \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} \cdots =
$

$\displaystyle 1 + ix - \frac{x^2}{2}
- i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} \cdots =
$

$\displaystyle \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \right) +
i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \right) =
$

$\displaystyle \cos(x) + i\sin(x)
$

Esta propiedad nos indica que $ e^{i\theta}$ corresponde a una rotacion en el círculo de centro 0 y radio 1 por el ángulo de $ \theta$. En nuestro caso las operaciones efectuadas sobre qubits serán rotaciones, ya que la magnitud de los vectores no es relevante.2.3

Sabemos también que $ e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ lo cual indica que

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta) = (\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))(\cos(\beta)+i\sin(\beta))
$

y esto implica que

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)
$

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)
$



Jose Castro 2004-10-06