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La esfera de Bloch

Si interpretamos un estado cuántico de 1 solo qubit como el spin de una partícula, cada una de las matrices de Pauli tiene relevancia física y corresponden a una dirección de rotación en la dirección del spin. Esta representación del qubit se le llama la esfera de Bloch.

En particular si queremos rotar un qubit en la dirección $ x$ por un ángulo $ \theta$, el estado del qubit resultante se debe multiplicar por $ e^{i\sigma_x\theta/2}$. Esta expresión aunque parece extraña (estamos elevando a $ e$ al valor de una matriz) se puede despejar de la siguiente manera:

$\displaystyle e^{i\sigma_x\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(i\sigma_x\right)^n}{n!} =
$

$\displaystyle I + i\sigma_x\theta + i^2\frac{\sigma_x^2\theta^2}{2} + i^3\frac{...
...+ i^4\frac{\sigma_x^4\theta^4}{4!} + i^5\frac{\sigma_x^5\theta^5}{5!} \cdots =
$

$\displaystyle I + i\sigma_x\theta - \frac{\sigma_x^2\theta^2}{2} - i\frac{\sigm...
...3!}
+ \frac{\sigma_x^4\theta^4}{4!} + i\frac{\sigma_x^5\theta^5}{5!} \cdots =
$

$\displaystyle I + i\sigma_x\theta - I\frac{\theta^2}{2} - i\sigma_x\frac{\theta^3}{3!}
+ I\frac{\theta^4}{4!} + i\sigma_x\frac{\theta^5}{5!} \cdots =
$

$\displaystyle I\left(1 - \frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{4!} \cdots\right)...
...igma_x\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} \cdots\right) =
$

$\displaystyle I\cos(\theta) + i\sigma_x\sin(\theta)
$

Utilizando un análisis similar podemos deducir que

$\displaystyle e^{i\sigma_y\theta} = I\cos(\theta) + i\sigma_y\sin(\theta)
$

$\displaystyle e^{i\sigma_z\theta} = I\cos(\theta) + i\sigma_z\sin(\theta)
$

Ahora bien, por razones físicas a las cuales no nos referiremos, una rotación en la esfera de Bloch en la direccion $ \vec{n}$ nos da una matriz de rotación determinada por

$\displaystyle \mathcal{R}_{\vec{n}}(\theta) = e^{-i\sigma_{\vec{n}}\theta/2} = ...
...(\frac{\theta}{2}\right)I
- i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sigma_{\vec{n}}
$

Mas concretamente, para rotaciones en $ x$ tenemos que:

$\displaystyle \mathcal{R}_x(\theta) = e^{-i\sigma_x\theta/2} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I
- i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sigma_x =
$

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & 0 \\...
...heta}{2}\right) \\
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & 0
\end{array}\right) =
$

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -i\s...
...\frac{\theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
\end{array}\right)
$

Para rotaciones en $ y$ tenemos que

$\displaystyle \mathcal{R}_y(\theta) = e^{-i\sigma_y\theta/2} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I
- i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sigma_y =
$

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & 0 \\...
...eta}{2}\right) \\
i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & 0
\end{array}\right) =
$

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -\si...
...\frac{\theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
\end{array}\right)
$

y para rotaciones en $ z$ tenemos

$\displaystyle \mathcal{R}_z(\theta) = e^{-i\sigma_z\theta/2} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I
- i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\sigma_z =
$

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & 0 \\...
...{2}\right) & 0 \\
0 & -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
\end{array}\right) =
$

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) - i\si...
...frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
\end{array}\right)
$

Por otra parte, dado un estado cuántico $ \vert\varphi\rangle$ las matrices de Pauli conforman una base tal que es posible representar la matriz proyección del estado

$\displaystyle \vert\varphi\rangle\langle\varphi\vert = \frac{1}{2}(I + x\sigma_x + y\sigma_y + z\sigma_z)
$

donde $ x$, $ y$, y $ z$, corresponden a las coordenadas del qubit en la esfera de Bloch.

Esta representación permite tambien expresar la esfera de Bloch mediante tres ángulos un ángulo de latitud $ \theta$, uno de longitud $ \phi$, y otro ángulo de fase $ \gamma$ que corresponde a valores no observables del qubit. Bajo esta representacion un qubit arbitrario

$\displaystyle \vert\varphi\rangle = \alpha_0\vert\rangle + \alpha_1\vert 1\rangle
$

Cumple con que

$\displaystyle \alpha_0 = e^{i\gamma}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \quad
\alpha_1 = e^{i\gamma}e^{i\phi}\left(\frac{\theta}{2}\right)
$


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Jose Castro 2004-10-06