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Compuertas de 1 Qubit

Compuertas de 1 Qubit tenemos las matrices de Pauli presentadas en el capítulo anterior, las cuales abreviaremos y utilizaremos como $ X = \sigma_x$, $ Y = \sigma_y$ y $ Z = \sigma_z$. Además la compuerta $ X$ tambien us el nombre del CNOT ya que invierte los valores $ \vert\rangle$ y $ \vert 1\rangle$.

Una compuerta sumamente importante es la compuerta de Hadamard. Esta compuerta existe en su versión de 1 qubit y de $ n$ qubits. En particular para 1 qubit la compuerta es:

$\displaystyle H = \frac{1}{\sqrt{2}}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)
$

Notese que

$\displaystyle H^2 = \frac{1}{\sqrt{2}}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -...
... =
\frac{1}{2}
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right) = I
$

Por el momento basta observar que aplicar la compuerta de Hadamard a un qubit $ \vert\rangle$ nos da una superposición entre los valores $ \vert\rangle$ y $ \vert 1\rangle$

$\displaystyle H\vert\rangle = \frac{\vert\rangle + \vert 1\rangle}{\sqrt{2}}
$

La compuerta de Hadamard es sumamente util para efectuar paralelismo cuántico, ya que al quedar en un estado superpuesto cualquier algoritmo que se calcule sobre el resultado de la compuerta de Hadamard se efectuara para todos las posibles configuraciones de entradas.

Otro tipo de compuerta de 1 qubit corresponde a las llamadas rotaciones de fase condicionales. Estas se representan por $ \mathcal{R}(\theta)$ y corresponden a la matrix

$\displaystyle \mathcal{R}(\theta) =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & e^{i\theta}
\end{array}\right)
$

Notese que esta compuerta no altera el valor del qubit si este es $ \vert\rangle$, pero si altera el qubit si este es $ \vert 1\rangle$. Aún asi, un valor de $ \vert 1\rangle$ no pasa a ser $ \vert\rangle$ sino que es rotado sobre el plano complejo. Por esto su nombre de cambio de fase condicional.

De estas compuertas tenemos

$\displaystyle T = \mathcal{R}\left(\frac{\pi}{4}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & e^{i\pi/4}
\end{array}\right)
$

$\displaystyle T' = \mathcal{R}\left(-\frac{\pi}{4}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & e^{-i\pi/4}
\end{array}\right)
$

$\displaystyle S = \mathcal{R}\left(\frac{\pi}{2}\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & i
\end{array}\right)
$


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Jose Castro 2004-10-06