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El teorema de no clonación

Es importante subrayar aqui, que las compuertas presentadas son compuertas lógicas que funcionan bien para valores binarios pero no necesariamente para qubits arbitrarios $ \vert\varphi\rangle = \alpha_0\vert\rangle + \alpha_1\vert 1\rangle$. Si esto fuera asi el circuito anterior tendria la capacidad de clonar un qubit, lo cual se puede demostrar que es imposible para un qubit arbitrario. Mas concretamente

Teorema 3.5.1   No existe un circuito cuántico capaz de duplicar el valor de un estado cuantico arbitrario.

Proof. Supongamos, por contradicción, que si existe este circuito, con matriz de transición $ G$. Sean $ \vert\phi\rangle$ y $ \vert\varphi\rangle$ dos qubits arbitrarios. Podemos asumir que

$\displaystyle G(\vert\phi\rangle\otimes\vert\rangle) = \vert\phi\rangle\otimes\vert\phi\rangle
$

y que

$\displaystyle G(\vert\phi\rangle\otimes\vert\rangle) = \vert\phi\rangle\otimes\vert\phi\rangle
$

Ahora bien, considerese el estado

$\displaystyle \vert\xi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\phi\rangle + \vert\varphi\rangle)
$

por definición de la compuerta sabemos que debe ser cierto que

$\displaystyle G(\vert\xi\rangle\otimes\vert\rangle) = \vert\xi\rangle\otimes\vert\xi\rangle =
$

$\displaystyle \frac{1}{2}(\vert\phi\rangle + \vert\varphi\rangle)\otimes(\vert\phi\rangle + \vert\varphi\rangle) =
$

$\displaystyle \frac{1}{2}(\vert\phi\phi\rangle + \vert\phi\varphi\rangle + \vert\varphi\phi\rangle + \vert\varphi\varphi\rangle)$ (3.1)

pero por linealidad tambien sabemos que

$\displaystyle G(\vert\xi\rangle\otimes\vert\rangle) = G\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\phi\rangle + \vert\varphi\rangle)\otimes\vert\rangle\right) =
$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(G(\vert\phi\rangle\otimes\vert\rangle) + G(\vert\varphi\rangle\otimes\vert\rangle)) =
$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\phi\rangle\otimes\vert\phi\rangle) + \vert\varphi\rangle\otimes\vert\varphi\rangle)) =
$

o mas concisamente

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\phi\phi\rangle) + \vert\varphi\varphi\rangle)) =$ (3.2)

y claramente las equaciones 3.1 y 3.2 no pueden ser iguales para valores arbitrarios de $ \vert\phi\rangle$ y $ \vert\varphi\rangle$. QED. $ \qedsymbol$


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Jose Castro 2004-10-06