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La Transformada de Fourier

Fourier comienza diciendo que cualquier función periódica $ s(x)$ con periodo $ T$, tal que $ s(x+T) = s(x)$, puede expresarse en el intervalo $ [\frac{-T}2, \frac T 2]$ como la suma de senosoidales de la forma

$\displaystyle s(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(2\pi n f x) + b_n\cos(2\pi n f x)
$

donde $ f = \frac 1 T$ y se le llama frecuencia, y los coeficientes $ a_n$ y $ b_n$ estan definidos por las fórmulas

$\displaystyle a_0 = \frac 1 T \int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s(x)dx
$

$\displaystyle a_n = \frac 1 T \int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s(x)\cos(2\pi nfx)dx
$

$\displaystyle b_n = \frac 1 T \int_{-\frac T 2}^{\frac T 2}s(x)\sin(2\pi nfx)dx
$

Notese que para cualesquiera valor de $ n$ y $ m$ distintos se cumple que

$\displaystyle \int_{-\frac T 2}^{T 2}\sin(2\pi nfx)\sin(2\pi mfx)dx = 0
$

y lo mismo es cierto para los cosenos. Esta propiedad permite ver a las funciones trigonométricas como una base para construir funciones.

La transformada de Fourier, es una trasnformación matemática que traduce un problema del ámbito de amplitudes y tiempo al ámbito de frecuencias. Por ejemplo, la transformada de Fourier de una señal de sonido obtiene las frecuencias fundamentales del sonido que se escucha (las notas musicales). La transformada de fourier es útil para el procesamiento digital de señales, tales como voz, imagenes, u otros.



Jose Castro 2004-10-06