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La Transformada de Fourier Cuántica (QFT)

La transformada de Fourier cuántica toma un estado $ \vert\varphi\rangle$ y lo transforma en un estado $ \vert\phi\rangle$ tal que

$\displaystyle \vert\varphi\rangle =
\left(\begin{array}{c}
f_0  f_1  \vdots...
...eft(\begin{array}{c}
F_0  F_1  \vdots  F_{N-1}
\end{array}\right), \quad
$

$\displaystyle \vert\varphi\rangle \stackrel{\emph{QFT}}{\longrightarrow} \vert\phi\rangle
$

donde los $ F_k$ son los coeficientes de la transformada de Fourier de $ f_0, \ldots, f_{N-1}$. Como los estados cuánticos deben estar normalizados, la transformada de Fourier cuántica cumple con la siguiente ecuación

$\displaystyle F_k = \frac 1 {\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}f_j\omega^{jk}
$

Si el estado cuántico además corresponde a una secuencia de qubits podemos decir que $ N = 2^n$ y la expresión se traduce a

$\displaystyle F_k = \frac 1 {\sqrt{2^n}}\sum_{j=0}^{2^n-1}f_j\omega^{jk}$ (3.5)

También sabemos que el coeficiente $ F_k$ multiplica al ket base $ \vert k\rangle$ asi que

$\displaystyle \emph{QFT}\vert\varphi\rangle = \sum_{k=0}^{2^n-1}F_k\vert k\rangle =
$

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2^n-1}\left(\frac 1 {\sqrt{2^n}}\sum_{j=0}^{2^n-1}f_j\omega^{jk}\right)\vert k\rangle =
$

$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2^n}}\sum_{j=0}^{2^n-1}f_j\sum_{k=0}^{2^n-1}\omega^{jk}\vert k\rangle$ (3.6)

Y como $ f_j$ es el coeficiente del vector base $ \vert j\rangle$, entonces por linealidad la ecuación 3.5 es equivalente a decir que

$\displaystyle \emph{QFT}\vert j\rangle = \frac 1 {\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}w^{jk}\vert k\rangle$ (3.7)

ya que

$\displaystyle \emph{QFT}\vert\varphi\rangle = \emph{QFT}\sum_{j=0}^{2^n-1}f_j\vert j\rangle =
$

$\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n-1}f_jQFT\vert j\rangle =
$

$\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n-1}f_j \frac 1 {\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}\omega^{jk}\vert k\rangle =
$

% latex2html id marker 7597
$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2^n}}\sum_{j=0}^{2^n-...
...m_{k=0}^{2^n-1}\omega^{jk}\vert k\rangle = \emph{ecuaci\'on}\;
\ref{eq-igual}
$



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Jose Castro 2004-10-06