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Inicios de la Computación Cuántica

La moraleja de todo esto es que la información y la computación son procesos físicos, y si este es el caso, entonces es de esperar que la naturaleza radicalmente distinta de los sistemas cuánticos afecten los tipos de cómputos que podamos efectuar con ellos.

Richard Feynman en 1982 se interesa por una pregunta relacionada. Su interrogante era ¿será posible simular un proceso cuántico en un computador convencional? Para entender esta pregunta necesitamos desarrollar un poco de notación.

En un computador convencional, la unidad mínima de información es el bit el cual puede estar en alguno (pero no ambos) de dos estados posibles 0 o 1. Por el contrario, en un computador cuántico, la unidad mínima de información es el qubit. Matemáticamente, el qubit es representado por un vector normalizado de dos dimensiones en un espacio complejo, en notación de dirac el qubit se representa como $ \vert\psi\rangle $ donde

$\displaystyle \vert\psi\rangle \in \mathrm{C}^2
$

Ya que nos interesa representar información binaria, podemos denominar a los vectores de una base arbitraria de $ \mathrm{C}^2$ como $ \vert\rangle$ y $ \vert 1\rangle$. Es común, aunque no necesario, que $ \vert\rangle$ y $ \vert 1\rangle$ correspondan a la base canónica en $ \mathrm{C}^2$ esto es

$\displaystyle \vert\rangle = \left(\begin{tabular}{c} 1  0 \end{tabular}\right), \;\;
\vert 1\rangle = \left(\begin{tabular}{c} 0  1 \end{tabular}\right)
$

Entonces la representación de $ \vert\psi\rangle $ en esta base está dada por

$\displaystyle \vert\psi\rangle = \left(\begin{tabular}{c} $\alpha$  $\beta$ \end{tabular} \right) =
\alpha\vert\rangle + \beta\vert 1\rangle,
$

donde se cumple que

$\displaystyle \vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1
$

Cuando leemos el estado de un qubit mediante un operador de lectura, lo único que podremos leer es alguno de los estados clásicos $ \vert\rangle$ o $ \vert 1\rangle$. Sin embargo, el qubit puede estar en un estado superpuesto entre $ \vert\rangle$ y $ \vert 1\rangle$. Cuando este es el caso, el coeficiente $ \vert\alpha\vert^2$ corresponde a la probabilidad de leer un $ \vert\rangle$ mientras que el coeficiente $ \vert\beta\vert^2$ corresponde a la probabilidad de leer un $ \vert 1\rangle$ del qubit. Por este motivo los coeficientes $ \alpha$ y $ \beta$ se les llama amplitudes de probabilidad.

Una posible implementación física de un qubit es utilizando fotones de luz. Supongamos que tenemos una pistola de fotones capaz de lanzar uno a uno fotones con polarización arbitraria, y convenimos que fotones con polarización horizontal corresponden a un $ \vert\rangle$ mientras que fotones con polarización vertical corresponden a un $ \vert 1\rangle$1.5. Para establecer comunicación sincrónica entre dos puntos A y B con linea de vista, basta con lanzar fotones polarizados bajo el esquema anterior del punto A y poner un vidrio polarizado verticalmente en el punto receptor B. Si el fotón pasa a través del vidrio polarizado, sabemos que es un $ \vert 1\rangle$, de lo contrario el fotón representa un $ \vert\rangle$.

Claro está, nada impide que mandemos un fotón polarizado en un ángulo de $ 45^o$. En este caso el resultado es que aleatoriamente los fotones pasan la pantalla polarizada verticalmente un 50% de las veces. Más aún, el vidrio polarizado altera irremediablemente la polarización del fotón y la colapsa a una polarización vertical tal que, si ponemos otro vidrio polarizado verticalmente detrás de éste, el 100% de los fotones que pasaron el primer vidrio pasarán el segundo (otro ejemplo de que la lectura de información cuántica altera el contenido de esta información).

Nótese que la información que obtenemos del sistema cuántico es binaria (el fotón pasa o no), pero el estado cuántico es continuo (en este caso, un ángulo de polarización $ \theta \in [0,2\pi]$)

Podríamos argumentar que un computador convencional también contiene un estado interno que es básicamente continuo y que nosotros escojemos interpretar estos estados como valores binarios, así las cosas tenemos varias opciones:

  1. Los qubits se pueden simular mediante un computador convencional.
  2. Los qubits solo agregan ruido al proceso y son equivalente a voltajes en un computador analógico.
  3. Los qubits no se pueden simular mediante un computador convencional.

Feynman entonces continúa con el modelo de una memoria cuántica conformada por $ N$ qubits. Resulta ser que para representar los $ N$ qubits no basta con saber el estado de cada qubit por separado. Dada una memoria de cinco qubits, por ejemplo, esta puede estar en el estado

$\displaystyle b_0 = \vert\rangle,\; b_1 = \vert 1\rangle,\; b_2 = \vert 1\rangle,\; b_3 = \vert\rangle,\; b_4 = \vert 1\rangle
$

Lo que se puede abreviar como

$\displaystyle \vert\rangle\vert 1\rangle\vert 1\rangle\vert\rangle\vert 1\rangle = \vert1101\rangle = \vert 13\rangle
$

pero así como un qubit puede estar en la superposición de $ \vert\rangle$ y $ \vert 1\rangle$, esta memoria de cinco qubits también puede estar en cualquier superposición de los posibles $ 2^N = 32$ estados. La fórmula que expresa el estado más general de esta memoria cuántica es

$\displaystyle \sum_{i=0}^{2^N-1} \alpha_i\vert i\rangle$ (1.1)

donde

$\displaystyle \sum_{i=0}^{2^N-1}\vert\alpha_i\vert^2 = 1
$

Nótese que la expresión de este estado requiere de una cantidad exponencial (con respecto al número de qubits en la máquina) de coeficientes complejos. Si queremos simular una memoria cuántica de 1K qubits, entonces ocuparíamos ¡$ 2^{1024}$ coeficientes complejos! suma obviamente imposible ($ 2^{70}$ ya está cerca de la cantidad de átomos que se encuentran en el universo conocido).

Aún todavía, podemos argumentar que estos coeficientes puede que no sean necesarios para lograr la simulación, ya que lo que nos interesa realmente es el resultado leído de la memoria cuántica despues de un cómputo. Pero este planteamiento es equivalente a la suposición de variable escondida que tanto buscó Einstein, y que John Bell demuestra en 1964 que es falsa: no existe ningún algoritmo local probabilístico que pueda reproducir los estados de un sistema cuántico arbitrario. Por lo tanto, a menos que encontremos una forma de hacer cómputos en espacio exponencial EXPSPACE, es probable que estados cuánticos complejos no sean viables de simular en un computador convencional.



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Jose Castro 2004-10-06